Matematikos atmintinė: kokią pasirinkti ir kaip ja naudotis, kad padėtų išmokti, o ne atstotų atmintį

Matematikos atmintinė — tai nedidelė knygelė ar lapas, kuriame trumpai sudėtos mokyklinio kurso formulės, taisyklės, sąvokų apibrėžimai ir sprendimo pavyzdžiai. Ji gali būti viena naudingiausių nebrangių mokymosi priemonių namuose, o gali tapti ramentu, be kurio mokinys nebeišsprendžia nė vieno uždavinio. Skirtumą lemia ne pats leidinys, o tai, kaip juo naudojamasi, ir tai gerai matyti tyrimuose apie paruoštukes, kurias studentams leidžiama pasiimti į egzaminą. Lietuvos mokinys per aštuntokų nacionalinį mokinių pasiekimų patikrinimą (NMPP) neturės jokio lapo su formulėmis, o per pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimą (PUPP) ir valstybinį brandos egzaminą (VBE) gaus tik oficialų formulių rinkinį, kuriame nėra nei sąvokų apibrėžimų, nei sprendimo pavyzdžių. Šiame gide aiškinama, kokios atmintinės būna, kaip išsirinkti tinkamą pagal klasę ir kaip ja naudotis, kad ji padėtų išmokti, o ne atstotų atmintį.

Ką reiškia žodis „atmintinė“ ir kodėl jis turi kelias reikšmes

Knygyne atmintinė yra leidinys: kišeninio formato knygelė, kurioje trumpai sudėta visa mokyklinė matematika arba kelių klasių kursas. Tačiau Lietuvos švietimo sistemoje tas pats žodis turi ir oficialią reikšmę. Nacionalinė švietimo agentūra (NŠA) kasmet skelbia mokiniams skirtas atmintines apie patikrinimus. Pavyzdžiui, matematikos PUPP atmintinėje nurodytos 2025–2026 mokslo metų patikrinimo datos, vykdymo būdas, taškų skaičius ir uždavinių tipai. Švietimo, mokslo ir sporto ministerija skelbia atmintines dešimtokams ir abiturientams, o mokytojams rengiamos atskiros informacinės atmintinės. Formulių jose nėra: tai informaciniai lapai apie patikrinimus, dalykų pasirinkimą ir mokymo išteklius.

Trečias dalykas, su kuriuo atmintinė dažnai painiojama, yra oficialus formulių rinkinys, kurį mokinys gauna per patikrinimą. Jo į egzaminą neatsinešama — jis įteikiamas kartu su užduotimi. Šiame tekste kalbama apie pirmąją reikšmę, t. y. apie leidinį, iš kurio mokomasi namuose. Tačiau ir kiti du dalykai svarbūs, nes būtent jie parodo, kur atmintinės pagalba baigiasi.

PUPP lapas turi du puslapius, atmintinė — du šimtus

Galiojančiame matematikos PUPP užduoties apraše (NŠA direktoriaus 2024 m. gruodžio 11 d. įsakymas Nr. VK-1018, 2025 m. gruodžio 10 d. įsakymo Nr. VK-1210 redakcija) prie priemonių įrašyta: „Lapas užrašams, kompiuteris, skaičiuotuvas, išspausdintas formulių rinkinys (Aprašo priedas)“. Tas aprašo priedas užima du puslapius. Jame yra greitoji daugyba, laipsniai ir šaknys, sudėtiniai procentai, kvadratinės lygties sprendiniai ir kvadratinio trinario skaidymas dauginamaisiais, tiesės per du taškus lygtis, parabolės viršūnės abscisė, trigonometrijos formulės su reikšmių lentele, sinusų ir kosinusų teoremos, trikampio plotas, daugiakampio kampų suma bei skritulio išpjovos lanko ilgis ir plotas. Nėra nei Pitagoro teoremos, nei keturkampių plotų, nei kūnų tūrių, nei vidurkio ar medianos, taip pat nėra sąvokų apibrėžimų ir sprendimo pavyzdžių. Kodėl Pitagoro teoremos lape nėra, aiškinome tekste apie Pitagoro teoremą.

Aštuntokams neduodama net tiek. Galiojančiame 8 klasės matematikos NMPP užduoties apraše (2025 m. spalio 31 d. redakcija) nurodytos dvi priemonės — lapas užrašams ir kompiuteris, o šalia parašyta: „Skaičiuotuvu naudotis neleidžiama“. Formulių priedo nėra. Vadinasi, viskas, ko reikia 90 minučių trunkančiam patikrinimui, nuo trupmenų veiksmų iki plotų, turi būti galvoje. NŠA jau rengia naujus 2026–2027 mokslo metų NMPP, PUPP ir VBE matematikos užduočių aprašus pagal pakoreguotą programą (projektus žadama paskelbti iki rudens atostogų), todėl priemonės ir formulių rinkiniai dar gali keistis. Naujienas verta sekti tekste apie NMPP 2027.

Palyginimui: Vaidoto Mockaus „Pati naujausioji matematikos atmintinė moksleiviams“ turi 200 puslapių, jo „Matematikos formulių ir taisyklių rinkinys moksleiviams“ — 156. Skirtumas tarp dviejų ir dviejų šimtų puslapių ir yra tai, ką mokinys į patikrinimą turi atsinešti galvoje. Todėl gera atmintinė namuose yra ne egzamino lapo pakaitalas, o sąrašas to, ko lapas neduos. Kas tiksliai įrašyta PUPP ir abiejų brandos egzamino kursų rinkiniuose, išsamiai aprašyta tekste apie egzaminų formulynus.

Kokios matematikos atmintinės būna

Pradinukams dažnai pakanka ne storų leidinių, o vieno lapo lentelių ir plakatų, pavyzdžiui, su daugybos lentele, matavimo vienetais, veiksmų tvarka ar geometrinių figūrų pavadinimais. Tokia atmintinė ant sienos naudinga ribotą laiką. Daugybos lentelės sandarą vaikai pradeda tyrinėti antroje klasėje, bet vėliau atsakymą reikia žinoti iš karto, o ne ieškoti jo lentelėje, nes daugybos lentele remiasi beveik kiekvienas vyresnių klasių veiksmas su trupmenomis ar lygtimis. Plakatą verta nukabinti tada, kai vaikas į jį nebežiūri, o kaip to pasiekti, aprašyta tekste apie tai, kaip išmokti daugybos lentelę.

5–8 klasių mokiniams atmintinės pastaraisiais metais rengiamos pagal atnaujintą bendrąją programą. Pavyzdžiui, 2026 m. leidykla „Šviesa“ išleido leidinį „Matematikos atmintinė 5–8 klasėms“ (132 psl.). Jo keturi skyriai atkartoja programos sritis — skaičiai ir skaičiavimai, modeliai ir sąryšiai, geometrija ir matavimai, duomenys ir tikimybės, o kiekvienas skyrius prasideda laiko juosta, kurioje matyti, ko mokomasi kurioje klasėje. Tokia sandara patogi, kai norima greitai rasti savo klasės temą ir pamatyti, ką reikėjo mokėti anksčiau.

Vyresniems mokiniams skirtos atmintinės apima visą mokyklinį kursą. Vaidoto Mockaus „Pati naujausioji matematikos atmintinė moksleiviams“ (Vaidoto Mockaus leidykla, 2021 m., 200 psl.) yra perdirbta 2014 m. knygelė „Naujausioji matematikos atmintinė moksleiviams“: autorius ją pertvarkė atsižvelgdamas į mokytojų ir mokinių pastabas. Pirmoje dalyje surašytos formulės, uždavinių sprendimo schemos, funkcijų grafikai, dalis sąvokų apibrėžimų ir sprendimo pavyzdžiai, antroje — temos, kurių pirmojoje dalyje nebuvo arba kurios ten pateiktos labai glaustai, o gale pridėta matematinių lentelių. Leidinio aprašyme nurodyta, kad knygelė skirta 9–12 klasių mokiniams, nors naudingos informacijos joje ras ir 5–8 klasių mokiniai. Kitas to paties autoriaus leidinys, „Matematikos formulių ir taisyklių rinkinys moksleiviams“ (2022 m., 156 psl., 12 × 17 cm), apima formules su taikymo pavyzdžiais, taisykles, funkcijų grafikus ir lenteles. Abu leidiniai yra Edtalk parduotuvėje tarp kitų Vaidoto Mockaus knygų, o apie patį autorių ir jo egzaminų medžiagą plačiau rašėme tekste apie Vaidotą Mockų ir matematikos VBE.

Kaip išsirinkti: penki klausimai prieš perkant

Atmintinė kainuoja nedaug, bet netinkama liks gulėti stalčiuje. Prieš perkant verta atsakyti į kelis klausimus.

• Kokiai klasei? Penktokui dviejų šimtų puslapių knygelė su logaritmais ir išvestinėmis bus per plati: jam reikės tik pirmųjų skyrių, o likę puslapiai trukdys rasti tai, ko reikia dabar. Visam kursui skirta atmintinė labiausiai atsiperka nuo aštuntos ar devintos klasės.
• Ar yra pavyzdžių? Formulė be pavyzdžio mažai padeda tam, kas jos dar nesupranta. Taisyklė su išspręstu pavyzdžiu leidžia pasitikrinti ne tik užrašą, bet ir tai, kaip ji taikoma.
• Ar žymėjimai sutampa su egzamino lapu? Oficialiame PUPP rinkinyje kampai žymimi ženklu ∠ (pavyzdžiui, sin ∠A), o daugyba kai kur rašoma tašku. Lietuvos matematikos mokytojų asociacija 2024 m. spalį NŠA skirtame rašte klausė, kodėl brandos egzamino formulių rinkinio projekte formulės užrašytos neįprastu žymėjimu, kurio nėra ir naujuose vadovėliuose. Jei atmintinėje formulės užrašytos kitaip, šalia verta turėti ir oficialų lapą.
• Kada išleista? Formulės nesensta, bet temų išdėstymas pagal klases keičiasi, o 2026 m. rugsėjį kai kurios temos perkeltos į kitas klases (plačiau — žemiau).
• Koks formatas? Kišeninę knygelę patogu nešiotis, lapas ar plakatas tinka rašomajam stalui, o kortelės — greitam kartojimui.

Ką rodo tyrimai apie leidžiamas paruoštukes

Kaip atmintinė veikia mokymąsi, gerai iliustruoja tyrimai apie paruoštukes (angl. crib cards), kurias kai kurie universitetų dėstytojai leidžia pasiimti į egzaminą. Jie atlikti su studentais, ne su mokiniais, tačiau klausimas tas pats: ar žinojimas, kad atsakymą galima pasižiūrėti, keičia tai, kiek išmokstama.

Pirmasis rezultatas nuvilia tuos, kurie iš paruoštukių tikisi daug. K. L. Dickson ir M. D. Miller (2005) tyrime 54 studentai galėjo naudotis paruoštukėmis per du iš keturių egzaminų. Studentai tikėjosi, kad kortelės labai pagerins rezultatus ir sumažins nerimą, tačiau rezultatai nepagerėjo nei atsakant į faktinius, nei į sudėtingesnius klausimus, o nerimas nesumažėjo. Vėlesnė K. H. Larwin, J. Gorman ir D. A. Larwin (2013) metaanalizė, apibendrinusi daugiau tyrimų, nustatė vidutinį teigiamą poveikį: kai pagalbinę priemonę leidžiama turėti per patį atsiskaitymą, rezultatai pagerėja, ypač jei ją ruošė pats studentas (efekto dydis d = 0,40, atverstam vadovėliui — 0,26). Taigi per atsiskaitymą atmintinė dažniausiai šiek tiek padeda. Lieka klausimas, ar ji padeda išmokti.

Į jį atsako kiti tyrimai. S. C. Funk ir K. L. Dickson (2011) tyrime 51 studentas ruošėsi egzaminui tikėdamasis naudotis savo kortele, bet prieš egzaminą netikėtai turėjo atsakyti į tuos pačius klausimus be jos: be kortelės rezultatai buvo statistiškai reikšmingai prastesni nei per egzaminą su kortele. Kai kitam egzaminui tie patys studentai ruošė kortelę žinodami, kad jos naudoti negalės, skirtumo tarp atsakymų su kortele ir be jos nebeliko. Autorių išvada: lūkestis, kad paruoštukė bus po ranka, skatina priklausomybę ir mažina tai, kas išmokstama. Panašiai P. K. Agarwal ir H. L. Roediger (2011) nustatė, kad dalyviai, tikėjęsi testo su atversta medžiaga, mokėsi trumpiau ir vėlesnį testą be medžiagos atliko prasčiau. O K. C. Burns (2014) statistikos kurse paprašė studentų pasižymėti, kiek kartų per egzaminą jie pažvelgė į kortelę: kuo dažniau žiūrėjo, tuo prastesni būdavo rezultatai. Stipriausi studentai kortele naudojosi nedaug, o vidutiniai ir silpnesni per semestrą naudojosi vis dažniau.

Išvada mokiniui paprasta. Per aštuntokų patikrinimą atmintinės nebus, o per PUPP ir brandos egzaminą bus tik oficialus lapas, todėl namuose atmintine reikia naudotis taip, kad kas savaitę jos prireiktų vis mažiau.

Pirmiausia prisiminti, tik paskui atsiversti

Svarbiausias įprotis — atmintinę atsiversti ne prieš bandant prisiminti, o po to. Užstrigus prie uždavinio verta kelias sekundes pabandyti atkurti formulę ar taisyklę ir užrašyti ją juodraštyje taip, kaip prisimenama, net jei neaišku, ar teisingai. Tik tada atmintinė atsiverčiama ir užrašas patikrinamas. Šis žingsnis gali atrodyti nereikalingas, bet būtent jis ir moko. H. L. Roediger ir J. D. Karpicke (2006) eksperimente studentai, kurie po skaitymo bandė tekstą prisiminti, po dviejų dienų ir po savaitės atsiminė gerokai daugiau nei tie, kurie tą laiką skyrė pakartotiniam skaitymui, nors pastarieji buvo labiau įsitikinę, kad atsimins. Atmintinės vartymas nuo pradžios iki galo panašus į pakartotinį skaitymą, todėl gali sukurti tokį pat apgaulingą pasitikėjimą. Kodėl trumpas darbas be knygos duoda daugiau nei ilgas kartojimas, plačiau aiškinama tekste apie matematikos testus savikontrolei.

Antrasis įprotis pasiskolintas iš minėto statistikos kurso tyrimo. Kiekvieną kartą atsivertus atmintinę, prie ieškotos formulės pieštuku padedamas mažas brūkšnelis. Po dviejų ar trijų savaičių brūkšneliai parodo, ko vaikas iš tikrųjų nemoka: formulės su trimis ar daugiau brūkšnelių tampa kitos savaitės mokymosi sąrašu, o formulės be brūkšnelių rodo, kas jau išmokta. Tai labai pigi diagnostika namuose, o jos rezultatus lengva aptarti su mokytoju. Tą patį principą — ne skaičiuoti klaidas, o žiūrėti, kur jos kartojasi, — aprašėme tekste apie klaidų analizę matematikoje.

Kaip palaipsniui atsisakyti atmintinės

Atmintinė naudingiausia tada, kai jos vaidmuo keičiasi. Mokantis naujos temos, ji gali gulėti atversta šalia sąsiuvinio. Po kelių savaičių, kai tema jau pažįstama, sprendžiant ji laikoma užversta ir atverčiama tik pasitikrinti. Dar vėliau ištisi darbai sprendžiami visai be jos, o atmintinė reikalinga tik klaidoms taisyti.

Paskutiniam etapui reikia užduočių, kurias galima atlikti kaip mažą patikrinimą. Patogiausia, kai tos pačios temos uždaviniai pateikti dviem variantais: Vaidoto Mockaus 6 klasės ir 7 klasės matematikos kurso teminiai uždaviniai turi A ir B variantus, todėl pirmąjį galima spręsti su atmintine, antrąjį — be jos. Aštuntokui verta be atmintinės ir be skaičiuotuvo spręsti darbo sąsiuvinį „Pakartokime 5–8 klasės matematikos kursą ir pasirenkime 8 klasės NMPP“, nes būtent tokiomis sąlygomis vyks patikrinimas. Pradinukams tokį vaidmenį atlieka trumpi Audronio Bortkevičiaus testai, pavyzdžiui, matematikos testai 4 klasei, kurie suskirstyti pagal trimestrus — po vienuolika trumpų testų kiekvienam.

Dešimtokams ir abiturientams sąlygos kitokios, todėl kitoks ir paskutinis etapas. Atmintinė padedama į šalį, o jos vietą užima oficialus formulių rinkinys, atsispausdintas iš NŠA aprašo priedo. Taip mokinys pripranta prie lapo tvarkos ir žymėjimų ir iš anksto žino, ko jame neras.

Savo atmintinė: rašyti iš atminties, ne perrašyti

Mokiniams dažnai patariama susidaryti savo atmintinę, ir tai gera mintis, tik su viena sąlyga. K. L. Dickson ir J. J. Bauer (2008) tyrime studentai, patys parašę paruoštukę ir tikėjęsi ja naudotis, į tuos pačius klausimus be jos atsakė reikšmingai prasčiau nei su ja; autorių išvada — pats paruoštukės rašymas žinių nepridėjo. Perrašymas iš knygos į sąsiuvinį yra kopijavimas, o ne prisiminimas.

Todėl savo atmintinę verta rašyti atvirkštine tvarka. Paimamas tuščias lapas su temos pavadinimu, pavyzdžiui, „Keturkampių plotai“, ir iš atminties surašoma viskas, ką apie ją pavyksta prisiminti: formulės, taisyklės, vienas pavyzdys. Tik tada atsiverčiama spausdinta atmintinė, o lapas kita spalva pataisomas ir papildomas. Kitos spalvos eilutės ir yra tai, ką reikia išmokti. Po savaitės tas pats lapas rašomas iš naujo, ir tikslas — kad kitos spalvos eilučių liktų vis mažiau.

Dar patogesnė forma — kortelės, suvertos ant žiedo. Vienoje kortelės pusėje užrašomas klausimas („Trapecijos plotas?“, „Kaip padalyti trupmeną iš trupmenos?“), kitoje — atsakymas su trumpu pavyzdžiu. Kortelėmis galima pasitikrinti per penkias minutes, o išmoktas korteles nuimti nuo žiedo. Spausdinta atmintinė tokiu atveju tampa atsakymų šaltiniu, o ne tekstu, kurį reikia skaityti.

Ko atmintinė turi išmokyti skirtingose klasėse

Pradinėse klasėse jos užduotis — padėti automatizuoti daugybos lentelę, matavimo vienetų sąryšius ir veiksmų tvarką. Čia svarbiau ne turėti atmintinę, o pasiekti, kad jos kasdien reikėtų vis mažiau.

Nuo penktos iki aštuntos klasės susikaupia daug taisyklių, kurias reikia mokėti mintinai, nes per aštuntokų patikrinimą nėra nei formulių lapo, nei skaičiuotuvo. Tuo metu atmintinė yra ne pagalbininkė per kontrolinį, o sąrašas to, ką iki patikrinimo reikia žinoti be jos. Kai norisi pakartoti visą progimnazijos kursą iš eilės, tinka progimnazijos 5–8 klasių kurso teminio kartojimo uždaviniai, o daugiau pasiruošimo medžiagos sudėta nacionalinio patikrinimo skyriuje.

Devintoje ir dešimtoje klasėje prasideda darbas su oficialiu lapu. Atmintinė lieka tam, ko lape nėra: Pitagoro teoremai, keturkampių plotams, kūnų tūriams, statistikos sąvokoms. Visam pagrindinės mokyklos kursui skirti 5–10 klasių kartojimo uždaviniai su atsakymais ir 10 klasės PUPP užduočių pavyzdžiai pagal atnaujintą programą, o kas nori matyti ne tik atsakymus, bet ir visą sprendimo eigą, gali rinktis 10 klasės matematikos pagrindų stiprinimo uždavinyną su detaliais sprendimais. Kiek taškų reikia PUPP ketvertui, aprašyta tekste apie 2027 m. PUPP vertinimą, o visi leidiniai sudėti PUPP matematikos skyriuje.

Gimnazijos III–IV klasėse atmintinė virsta kartojimo žemėlapiu. Temų čia daugiausia, o išplėstinio kurso egzamino lape dalies pagrindų jau nebėra, todėl svarbu matyti visą kursą vienoje vietoje. Temų kartojimui skirta Vaidoto Mockaus knyga „Matematikos valstybinis brandos egzaminas. Ar jau pasirengęs? 2 dalis“, o visi leidiniai egzaminui sudėti matematikos VBE skyriuje.

Ar senesnis leidimas dar tinka pagal atnaujintą programą

Dažnas klausimas, ar leidinys, išleistas iki atnaujintų bendrųjų programų, dar tinka. Formulės ir taisyklės nesensta: trapecijos plotas ar kvadratinės lygties sprendiniai nuo programų atnaujinimo nepasikeitė. Keičiasi tai, kurioje klasėje tema mokoma, ir kai kurių temų apimtis. 2026 m. rugsėjo 1 d. įsigaliojusiais matematikos programos pataisymais III–IV gimnazijos klasėse atsisakyta kelių temų: bendrajame kurse — su tangentu susijusių temų, išplėstiniame — parametrinių lygčių nagrinėjimo, o abiejuose — įvado į statistinę duomenų analizę. Tačiau pasikeitė ir 5–10 klasių turinys, o tai atmintinei svarbiau. Palyginus ankstesnę ir dabartinę programos redakcijas Teisės aktų registre, matyti, kad raidiniai reiškiniai ir uždaviniai apie pirkimą ir nuolaidas perkelti iš 5 į 6 klasę, panašiosios figūros — iš 6 į 9 klasę, dvigubosios nelygybės ir nelygybių sistemos — iš 7 į 8 klasę, skaičių sekos — iš 9 klasės į III gimnazijos klasę, o nepilnų kvadratinių lygčių dabar mokomasi jau 8 klasėje. Iš 7–8 klasių programos išbrauktos finansinių skaičiavimų temos apie valiutų kursus ir palūkanas. Pradinių klasių turinys nepasikeitė.

Todėl visam kursui skirtai atmintinei leidimo metai beveik nesvarbūs: formulės joje tos pačios, tik reikia žinoti, kurių temų nebereikia kartoti. O pagal klases sudėliota atmintinė, išleista iki 2026 m. rugsėjo, dalį temų gali priskirti kitai klasei, nei jos dabar mokomos, todėl klasę verta pasitikrinti pas mokytoją. Abiem atvejais naudinga palyginti žymėjimus su oficialiu egzamino lapu. Mockaus atmintinės aprašyme autorius pataria pirmiausia susipažinti su jos struktūra, knygelę „prisijaukinti“, ir tai tinka bet kuriai atmintinei: pirmą vakarą mokiniui verta ją pavartyti ne tam, kad ką nors išmoktų, o tam, kad žinotų, kur kas yra, ir vėliau paieška užtruktų kelias sekundes.

Kada atmintinės nebeužtenka

Atmintinė padeda prisiminti tai, kas jau buvo suprasta. Ji nepadeda, kai mokinys suranda reikiamą formulę, bet nežino, kaip ją pritaikyti, arba kai brūkšnelių prie tų pačių formulių savaitė po savaitės nemažėja. Tai ženklas, kad trūksta ne atminties, o supratimo, ir tada nepadės nei storesnė knygelė, nei naujas lapas. Tokiu atveju verta kelių pamokų su matematikos korepetitoriumi: jos padeda išsiaiškinti, ar mokinys nemoka formulės, ar nemato, kada ją naudoti. Korepetitorių galima rinktis pagal dalyką, klasę ir miestą, o pamokas lankyti ir internetu.

Trumpai svarbiausia

Matematikos atmintinė yra leidinys, kuriame sudėtos mokyklinio kurso formulės, taisyklės ir pavyzdžiai; jos nereikėtų painioti nei su NŠA informacinėmis atmintinėmis, nei su oficialiu egzamino formulių rinkiniu. Per aštuntokų NMPP nėra nei formulių lapo, nei skaičiuotuvo, per PUPP duodamas dviejų puslapių rinkinys, todėl atmintinė namuose turi padėti išmokti tai, ko per patikrinimą nebus. Pradinukams pakanka lentelių ir plakatų, 5–8 klasėms tinka pagal programą sudėliotos atmintinės, o nuo aštuntos ar devintos klasės — visam kursui skirti leidiniai, tokie kaip Vaidoto Mockaus atmintinė ir formulių bei taisyklių rinkinys. Tyrimai su studentais rodo, kad leidžiama paruoštukė per atsiskaitymą rezultatą gali šiek tiek pagerinti, bet kai ja tikimasi naudotis, išmokstama mažiau. Todėl pirmiausia bandoma prisiminti ir tik paskui atsiverčiama, kiekvienas atsivertimas pažymimas, o atmintinės palaipsniui atsisakoma.